Les systèmes dynamiques occupent une place déterminante dans les mathématiques comme dans leurs applications : « il est important de résoudre les équations différentielles » selon la devise secrète de Newton. C’était vrai à la fondation de la mécaniste céleste et de la physique moderne, c’est encore le cas aujourd’hui avec l’utilisation de modèles dont l’analyse relève souvent de la théorie des systèmes dynamiques (évolution d’une population, états d’un cristal…).

Si l’analyse fonctionnelle et l’analyse numérique étudient l’existence, l’unicité et les procédés d’approximation des solutions de tels modèles, la théorie des systèmes dynamiques cherche à en établir les propriétés à long terme (par exemple : prévisibilité statistique à long terme malgré l'imprévisibilité à moyen terme).

De façon moins évidente pour le néophyte, les systèmes dynamiques apparaissent également en mathématiques pures. Certains problèmes de géométrie et de théorie des nombres se traduisent ainsi élégamment et fructueusement en questions de dynamique.

L’ambition de ce cours est de présenter les notions de bases de la théorie moderne des systèmes dynamiques en lien avec quelques questions de géométrie et de théorie des nombres.

Programme

Dynamique topologique :
■ notions d’irréductibilité : transitivité, mélange, minimalité ;
■ théorème de récurrence de Birkhoff ;
■ ensemble limites et attracteurs ;
■ exemples de codage par la dynamique symbolique ;
■ chaos topologique et notion d’entropie.

Dynamique mesurée (ou théorie ergodique) :
■ théorème de récurrence de Poincaré ;
■ notions d’irréductibilité : ergodicité, mélange, unique ergodicité ;
■ théorèmes ergodiques de von Neumann et de Birkhoff ;
■ systèmes Bernoulli.

Géométrie hyperbolique :
■ plan hyperbolique et isométries ;
■ surface modulaire ;
■ flots géodésiques et horocycliques ;
■ ergodicité du flot géodésique ;
■ unique ergodicité du flot horocyclique.

Théorie des nombres :

■ équirépartition des valeurs de P(n), n décrivant les entiers et P étant un polynôme non constant ayant un coefficient irrationnel ;
■ développement en base entière de nombres typiques ou bien choisis ;
■ développement en fraction continue et application de Gauss ;
■ application de Gauss et surface modulaire.

Organisation :
L’enseignement s’appuiera sur le polycopié, les transparents pour chacune des neufs séances et au moins un devoir à la maison. Il y aura également des séances de travaux dirigés avec des exercices préparés d’une fois sur l’autre et relevés.

Niveau requis : Le contenu du cours MAT431 (systèmes dynamiques, analyse de Fourier et distributions) ne sera pas utilisé directement, à quelques rares mais notables exceptions (comme le théorème de Cauchy-Lipschitz). Mais la maturité mathématique correspondant à ce cours sera, elle, nécessaire. Les outils indispensables (en théorie de la mesure notamment) seront brièvement rappelés ou introduits

Dernière mise à jour : mercredi 3 octobre 2012