Ce cours propose d’introduire quelques notions fondamentales de la géométrie différentielle : sous-variétés, espaces tangents, métriques riemanniennes, courbure, dérivées covariantes, géodésiques etc, en les illustrant par l’étude des surfaces. Il s’adresse
à tous les étudiants désireux d’acquérir une culture de base dans ce domaine central des mathématiques, en particulier ceux se dirigeant vers une spécialisation en mécanique, en physique ou bien sûr en mathématiques.

Le cours culminera avec le théorème de Gauss-Bonnet*. Celui-ci est le prototype d’un grand nombre de résultats importants en géométrie reliant les propriétés locales et globales des variétés.

Plan du cours :
1. Invariants globaux des courbes
2. Calcul différentiel sur les sous-variétés.
3. Champs de vecteurs sur les sous-variétés. Orientation.
4. Transversalité. Théorème de séparation de Jordan-Brouwer.
5. Courbures des surfaces. Seconde forme fondamentale.
6. Géométrie intrinsèque des surfaces. Theorema Egregium de Gauss.
7. Géodésiques.
8. Intégration sur les surfaces. Formule de Green-Ostrogradski.
9. Théorème de Gauss-Bonnet.

* Pierre-Ossian Bonnet (X 1838)

Dernière mise à jour : mardi 30 avril 2013