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Responsable :

Gaëtan CHENEVIER
  


Niveau : Graduate

Langue du cours : Français

Période : Printemps

Nombre d'heures : 480

Crédits ECTS : 20
MAT594 Théorie des nombres et Géométrie Algébrique


Théorie des nombres
La théorie des nombres fascine par la simplicité de ses énoncés et l'imprévisibilité de ses solutions. De fait, la théorie des nombres utilise des techniques provenant de quasiment toutes les branches des mathématiques et il y a presque une branche de la théorie des nombres par branche des mathématiques avec des passerelles (ou des autoroutes) permettant de passer d'une branche à l'autre.

Par exemple, le grand théorème de Fermat (un cube n'est pas somme de deux cubes, et plus généralement une puissance n-ième n'est pas somme de deux puissances n-ièmes), énoncé vers 1650, nécessita pour sa résolution les efforts combinés d'un nombre impressionnant de mathématiciens durant près de quatre siècles. Sa solution définitive en 1994, par les travaux de Ribet, Wiles et Taylor, court sur plus de deux cents pages d'articles de recherche qui eux-mêmes reposent sur quelques milliers de pages empruntés à diverses branches des mathématiques (fonctions d'une variable complexe, théorie des représentations, analyse harmonique, géométrie algébrique...).

Dans la même veine, le problème des nombres congruents (quels sont les nombres entiers qui sont l'aire d'un triangle rectangle à cotés de longueur rationnelle) remonte au moins au 10-ième siècle, et il a fallu attendre 1983 pour que Tunnell donne un critère simple pour qu'un nombre ne soit pas congruent et, modulo la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (un des problèmes à un million de dollar), pour qu'il soit congruent.

Dans un genre différent, la répartition des nombres premiers regorge de conjectures en tous genres. Le théorème des nombres premiers (donnant une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers), entrevu par Euler, ne fut démontré qu'en 1896, en utilisant la théorie des fonctions holomorphes et plus spécifiquement les propriétés de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. L'hypothèse de Riemann, formulée en 1858 (un autre problème à un million de dollar), et qui a des conséquences profondes sur la répartition des nombres premiers, a résisté jusqu'à ce jour aux assauts répétés des mathématiciens. Bien malin qui peut prétendre savoir d'où viendra la solution.

Green et Tao ont démontré en 2004 que l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de longueur arbitraire résolvant ainsi une très vieille question. Leur démonstration combine des idées probabilistes et d'autres venant de la théorie ergodique.

On conjecture (conjecture abc) que si a+b=c, où a,b,c sont des nombres entiers premiers entre eux, alors c ne peut pas être beaucoup plus gros que le produit des nombres premiers divisant le produit abc. Une démonstration permettrait de déterminer (en principe) les solutions en nombres rationnels de la plupart des équations en deux variables.
Les attaques actuelles reposent sur la géométrie d'Arakelov qui combine de la théorie algébrique des nombres classique, de la géométrie algébrique et de l'analyse fine sur les variétés.

Les problèmes ci-dessus donnent une petite idée de la diversité des questions qui se posent, mais ne recouvrent pas, loin s'en faut, la totalité des champs abordés par la théorie des nombres (il manque, entre autres, la théorie des nombres transcendants, les questions algorithmiques, les applications à la cryptographie...).

Géométrie Algébrique
La géométrie algébrique est l'étude des systèmes d'équations polynomiales. Tant les problématiques que les techniques mises en oeuvre sont multiples : géométriques (par exemple, on sait bien que le choix de la forme des cheminées de centrales nucléaires est due à l'existence de nombreuses droites propices aux coffrages des surfaces quadratiques), arithmétiques (par exemple, que peut on dire des solution entières, ou plus simplement modulo p des équations y^2=x(x-1)(x-t) ou x^n+y^n=z^n, analytiques, voire logiques et j'en passe. C'est en fait un grand carrefour. Dans les dernières décennies, on a d'ailleurs découvert de surprenantes interactions avec la physique théorique. Cette discipline a subi un profond bouleversement dans les années 60 unifiant les différents aspects arithmétiques et géométriques. Elle est en pleine activité.


Exemples de stage en théorie des nombres et géométrie algébrique :

1. Classification des formes quadratiques sur le corps des nombres rationnels, théorème de Hasse-Minkowski : deux formes quadratiques sur Q sont équivalentes si et seulement si elles le sont sur R et sur tous les Q_p (le corps des nombres p-adiques). Cela permet par exemple de classifier les algèbres de quaternions sur Q.

2. Nombre de solutions des systèmes d'équations polynomiales à coefficients dans Z/pZ ou dans un corps fini : une introduction aux conjectures de Weil ou encore à la conjecture de Sato-Tate.

3. Soit Q un polynôme irréductible unitaire à coefficients entiers. Quelle est la recette associant à un nombre premier p le type de factorisation de la réduction de Q modulo p ? Ce problème d'apparence simple est irrésolu, on en abordera des cas particuliers. Une fameuse solution conjecturale a été donnée par Langlands.

4. Une des multiples facettes de la théorie des courbes elliptiques, selon que l'on les étudie sur C (théorie de Weierstrass), sur Q, ou même sur un corps fini (structure du groupe des solutions dans Q ou dans F_p).

5. Courbes algébriques sur un corps k, par exemple le lieu des zéros dans k^2 ou dans le plan projectif d'un polynôme dans k[X,Y] donné. Quand k=C, un courbe algébrique non singulière a un "genre" qui est le "nombre de anses" de la surface de Riemann associée, comment le définir quand k est de caractéristique p > 0 ?

6. Empilements de sphères de densité maximale dans R^n, réseaux unimodulaires, séries Theta.

Dernière mise à jour : jeudi 13 mars 2014

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