Recherche avancée
Libres Savoirs >> Mathématiques >> Mathématiques'
Responsable :

Frank PACARD
  


Niveau : UnderGraduate

Langue du cours : Français

Période : Printemps

Nombre d'heures : 36

Crédits ECTS : 5
MAT311 Analyse réelle et complexe
Ressources Pédagogiques :


Ce cours constitue une initiation à l’analyse mathématique réelle et complexe, dont il présente quatre grandes thématiques :

- la théorie de la mesure et de l'intégration au sens de Lebesgue ;
- l’analyse de Fourier ;
- la théorie des espaces de Hilbert et les méthodes variationnelles ;
- la théorie des fonctions holomorphes (c’est-à-dire des fonctions d'une variable complexe qui sont dérivables au sens complexe).

L'ensemble du cours vise à fournir aux élèves un socle de compétences solide en analyse fonctionnelle, qui leur ouvrira l’accès à plusieurs domaines scientifiques : mathématiques fondamentales, mathématiques appliquées, mécanique, physique théorique, … Ce cours permet d’aborder avec profit tous les enseignements de mathématiques et de mathématiques
appliquées de 2ième et 3ième année, notamment le module long MAT431, ou le module court MAT432, qui constituent le prolongement naturel de ce cours.

La théorie de la mesure et de l'intégration sert de fondation à diverses branches des mathématiques et des mathématiques appliquées. Elle est couramment utilisée dans les applications (par exemple en analyse numérique). Elle offre un cadre naturel à la théorie des probabilités telle qu'elle est présentée dans le cours de 2ième année de mathématiques appliquées (MAP 432) et elle sert aussi de fondement à la théorie de la mesure géométrique. Elle sera illustrée principalement à travers ses applications en analyse de Fourier et la construction de certains espaces de Hilbert. L’analyse de Fourier trouve elle aussi de nombreuses
applications : résolution des équations aux dérivées partielles, traitement du signal (voir le cours de MAP 555),… La théorie des espaces de Hilbert, qui mélange analyse et géométrie, constitue une première approche de la théorie des opérateurs et de la théorie spectrale, c'est aussi un outil essentiel pour résoudre certains problèmes variationnels (voir par exemple le cours d'optimisation MAP 431) et les équations aux dérivées partielles (voir par exemple les cours de MAT431, MAT432 ou MAP
431) qui apparaissent en physique et en mécanique (équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger). La théorie des
fonctions holomorphes trouve des applications variées aussi bien dans divers branches des mathématiques fondamentales (théorie des nombres, géométrie, surfaces minimales, ...) que dans des domaines appliqués (mécanique des fluides, …).

Les notions mathématiques étudiées dans ce cours seront motivées et illustrées par quelques applications : l'utilisation de l'analyse de Fourier pour décrire le phénomène de diffraction en optique, l'utilisation de la théorie des espaces de Hilbert en mécanique quantique, l'utilisation des fonctions holomorphes en mécanique des fluides (aérodynamique) ou dans l’étude géométrique des surfaces minimales, ...

Cet enseignement ne fait appel à aucune connaissance mathématique particulière autre que celles figurant aux programmes des classes préparatoires. Un amphi sera néanmoins consacré aux compléments de topologie (topologie des espaces vectoriels normés et des espaces métriques) qui sont indispensables en vue de l’étude de la théorie de l’intégration au sens de Lebesgue et de l'étude des espaces de Hilbert.

Dernière mise à jour : jeudi 25 avril 2013

© Ecole Polytechnique 2014 - Réalisé par Winch Communication